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たけしの数学番組面白い 

最近深夜にたけしの数学の番組やってました.
面白い.毎週みることにします.

今週の問題は,
1~200までの数字がかかれたカードが,順に重ねられている.
この一番上のカード(今は1)を,一番したにもって行き,
次のカード(今は2)を捨てるという作業を,繰り返すとき,
最後の一枚のカードはなんでしょう?
解答は145.
その解法はとても面白いものでした.

一般にカードの枚数をP枚とするとき,
カ(P)
が最後に残るカードとします.一種の関数になっていますね.

まずはカードの枚数が偶数のときを考えます.
2n枚としたとき,カードを2枚ずつのn組に分けます.
各組の1枚目を残し,2枚目を捨てることになるので,
残ったn枚のカードの数字Sの特徴は,R番目の組について,
S=2R-1
という特徴があります.
さらに,n組ある組をn枚の1~nまで数字が書かれたカードとして
読みかえれば,同じ作業で最後に残るカードの数字は
カ(n)
と表せる.すると,
カ(2n)=2×カ(n)-1
という関係があることがわかります.

一方,奇数の時には,始めの一枚以外の数字について,2枚ずつのn組ができます.
これについて作業を行うと,各組の始めの一枚を捨て,2枚目が残る.
さらに,最後のカードが残るので,はじめのカードも捨ててしまいます.
残ったn枚のカードの数字Sの特徴は,R番目の組について,
S=2R+1
という特徴があります.
またn組ある組をn枚の1~nまで数字が書かれたカードとして
読みかえれば,同じ作業で残るカードの数字は
カ(n)
となる.すると,
カ(2n+1)=2×カ(n)+1
という関係があることがわかります.

よって,
カ(200)=2×カ(100)-1
カ(100)=2×カ(50)-1
カ(50)=2×カ(25)-1
カ(25)=2×カ(12)+1
カ(12)=2×カ(6)-1
カ(6)=2×カ(3)-1
カ(3)=2×カ(1)+1
カ(1)=1

よって,
カ(3)=2×1+1=3
カ(6)=2×3-1=5
カ(12)=2×5-1=9
カ(25)=2×9+1=19
カ(50)=2×39-1=37
カ(100)=2×37-1=73
カ(200)=2×73-1=145

ということになるそうな.
すごい,ちょっとした関数解を求めている感じだ.

ちなみに,逐次代入をしていくと,
カ(200)=2×(2×(2×(2×(2×(2×(2×(2×1+1)-1)-1)+1)+1)-1)-1)-1
      =(2^7+2^6+2^3)-(2^5+2^4+2^2+2^1+1)
とかける.
面白い.

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