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最適成長理論とshooting method 

最適成長理論の定式化は,
Σ_(t=0)^∞ β^t u(c(t))
subject to k(t+1)-k(t)=f(k(t))-c(t)-δk(t)
k(0)=k0
となり,これを解くと一階条件は,
共役状態変数をβ^t λ(t)として,
u'(c(t))=λ(t)
λ(t)=βλ(t+1)*(f'(k(t))-(1-δ))
となる.あとはREAD MOREをクリック.
よって,差分方程式系は.

u'(c(t))=λ(t)

λ(t)=βλ(t+1)*(f'(k(t))-(1-δ))

k(t+1)-k(t)=f(k(t))-c(t)-δk(t)

によって表される.(λを消去すれば,cとkの差分方程式になる.)

また端点の条件は,
k(0)=k0
および
0となる.

定常状態は,
f'(k)=1/β-δ
f(k)=c-δk
を満たす,
k=k(*),c=c(*).

この差分方程式のダイナミクスは鞍点になっていて,2つの端点を
みたす,つまり初期値k0からスタートして,定常状態に到達する経路は
たった一つだけ存在することがわかっている.
(それ以外の経路は発散してしまう.)

無限期間の経路を発見するには,無限次元の問題を解く,つまり関数の
空間において解関数をみつける問題になる.
数値計算の方法は,さまざまだが,ここではもっとも簡単なshooting methodを用いる.
(最後に,policy functionを見つけたい場合には,得られた経路について,
非線形最小自乗法を適用すればよい.)

手続き
資本ストックの初期値はk0でわかっている.
なんでも良いのでc0を代入して,差分方程式を逐次に解いてみると,
たいていの場合,経路が発散してしまうことがわかる.
ということは,うまく消費の初期値を見つけることで,定常状態に到達するような
経路を見付ける必要がある.
定常状態に到達する経路こそが,最適化の1階条件を満たし,
端点条件をみたすような,最適経路となる.

たくさんの初期値c0候補を代入して,すこしずつ変化させ,ちょうど良い
ところを見つけるという手法も可能だが,ある程度差分方程式の振る舞いが
わかっていれば,もう少し計算を省略することができる.
これを実現するためにshooting method(狙い撃ち法)という手法を用いる.
具体的には,

(1).この消費者が計画する消費の最初の値c0を適当に代入する.
ここでは適当にcの上限(cH)を下限(cL)を与えておき,
c0=(cH+cL)/2
とする.

(2).k0,c0を与えたときに,十分に大きいTを決めた上で,t=1,...,Tについて
差分方程式を逐次に解き,各期についてk(t),c(t)を求める.

(3).
(3-1)もしc(t)>c(*)ならば,消費が大きすぎて資本ストックが減少して
いく経路に乗り,発散してしまう.よって,
cH=c0
と置き換えて(つまり上限を少し大きくする),(1)に戻る.
(3-2)もしc(t)<c(*)ならば,消費が小さくすぎて資本ストックが増加して
いく経路に乗り,発散してしまう.よって,
cL=c0
と置き換えて(つまり下限を少し大きくする.),(1)に戻る.
(3-3)|c(t)-c(*)|<εのとき,消費経路は定常状態に近づいているため,
計算をストップする.


この手続きを行うことで,定常状態に到達する消費経路を持った初期値c0を
見つけることができ,最適成長モデルの最適経路を見付けることができる.
Tex形式で書けば,コンパイルできるんですが,
それだとブログ上で読めないので,とりあえず読める程度に書いて見ました.

実は,もう少し安定的に解を見つけるアルゴリズムがある.
これについては,また今度.

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