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ゲーデルの不完全性定理 

不完全性定理―数学的体系のあゆみ
不完全性定理―数学的体系のあゆみ野崎 昭弘

おすすめ平均
stars手軽に読める本
stars数学の意外なおもしろさ満載
stars数学オタクにも算数に挫折した人にも
stars難しいところは読み飛ばしました。
stars初心者向きではない

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ちょっとしたブームで,ゲーデルの不完全性定理を学んでみようと思っい,

「不完全性定理 数学的体系の歩み」 野崎昭弘 ちくま学芸文庫

を読み始めた.

ユークリッドをはじめとした数学の公理系に関しての記述に始まって,カントールの集合論から,ヒルベルトの超数学,そしてゲーデルの不完全性定理へと,とても丁寧に,そしてゆっくり読めば僕にでも分かるように解説してくれている本で,結構楽しんで読んでいるところ.

あとはゲーデルの不完全性定理を残すのみとなったんだけど,その前に論理学の解説があった.ここで,真偽値表がでてきた.論理学は,大学の一般教養の哲学の講義で学んだ覚えがあるんだけど,その当時から疑問に思っていたのが,この真偽値表.しかしこの本を読んで,納得できた.解決w

と思ったら.やっぱりダメだ.よく考えていたら分からなくなってしまったのでした.

P,Qの真偽に対応する「PならばQ」の真偽の表は

P Q 「PならばQ」
真 真    真
真 偽    偽
偽 真    真
偽 偽    真

というもの.
最初の二つは,納得がいく.
しかし,僕にとっての問題は,最後の二つ.Pが偽であれば,Qの真偽に関わらず,「PならばQ」は真であるというところが,よくわからん.ゲーデルの不完全性定理どころか,ものすごい基本的な決まりごとでつまづくw

三つ目のところについて,この著者は次のように解説してくれていた.

==========
 あるときおじさんが,「試験に合格したら,おすしをご馳走してあげよう」と約束してくれた.試験には落ちてしまったが,おじさんはそれを承知で,おすしをご馳走してくれた.このおじさんはウソをついたのだろうか?
 「試験に合格したのにご馳走してくれなかった」のなら,おじさんはウソつきである.しかし試験に合格しなかった場合については,おじさんは何の約束もしていない.だからおすしをご馳走しようとしまいと,ウソをついたことにならない.だからおじさんの最初の言葉は正しかった!
==========

というもの.うーん,よく考えると,なんとなく納得・・・
できないw

じゃあもし,言葉をこう入れ替えたら,どう思うだろうか?

==========
 あるとき北朝鮮が,「アメリカが攻撃してきたら,ミサイルを撃ち込む」と宣言した.アメリカは攻撃しなかったが,北朝鮮はそれを承知で,ミサイルを撃ち込んだ.この北朝鮮はウソをついたのだろうか?
 「アメリカは攻撃したのに,ミサイルを打たなかった」のなら,北朝鮮はウソつきである.しかしアメリカが攻撃しなかった場合については,北朝鮮は何の約束もしていない.だからミサイルを打っても打たなくても,ウソをついたことにならない.だから北朝鮮の最初の言葉は正しかった!
==========


やっぱり変だ.
うーん.何を僕は間違えているんだろう?

ただし,論理学でいうところの「ならば」の定義が,日本語の「ならば」とはちょっと違うという説明をしてくれる.

==============
数学の論文において
  PならばQ
といえば,これは
  「Pが真であるときにQも真」
であればよいのであって,
  Pが真でないときは,Qが真だろうと偽だろうと,
  「PならばQ」全体としては無条件に真
とされる.しかし日常会話で「PならばQ」といえば,次のようなニュアンスを含むことが多い.
  ①Pが原因で,Qはその結果である.
  ②時間的にはPが先で,Qがその後である.
  ③Pが真でないときは,「PならばQ」は無意味である.
そのため微妙なところで数学的に正しい推論が,一般常識からはわかりにくく,「間違いじゃないの」といわれてしまったりすることがある.
============

なるほどー.と思いつつ.やっぱり真偽値表への疑問は解けない・・・

でも,よくよく本を読んでみると,「PならばQ」が成り立たないことの解説があった.

============
  「PならばQ」が成り立たない
というのは,
  Pは成り立つが,Qは成り立たない
場合に限る.だから例えば,諺
  「xが律義者であれば,xは子沢山である」
を満たさない例を示そうと思ったら,前半「律義者である」はみたすが後半「子沢山である」はみたさないような人xを見つけなければならない.
============

あ,なんとなく納得した・・・
ような気がするw

あ,集合で考えれば,普通に納得した.

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